파세발 등식

최근 수정 시각:  (5년 전)
분류
Parseval's identity
목차
1. 개요2. 응용3. 관련문서

1. 개요 [편집]

L2[−π,π]L_2 \left[-\pi, \pi \right] 공간의 원소인 함수 ff가 있을 때, ff의 n번째 푸리에 계수를 cn c_n 이라 하자. 즉,
cn=12π∫−ππf(x)e−inxdx\displaystyle c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx
이다(n∈Zn\in \mathbb{Z} ). 그러면 다음의 등식이 성립한다.
12π∫−ππ∣f(x)∣2dx=∑n=−∞∞∣cn∣2\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \left|f(x)\right|^2 dx = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left|c_n\right|^2

2. 응용 [편집]

파세발 등식을 이용해 급수 ∑n=1∞1n2\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}의 합을 구할 수 있다. f(x)=xf(x)=x라 하면
cn=12π∫−ππxe−inxdx={0,n=0(−1)n−1in,n≠0\displaystyle c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} xe^{-inx} dx = \begin{cases} 0, & n=0 \\ \displaystyle \frac{(-1)^{n-1}}{in}, & n\neq 0 \end{cases}
이므로, 파세발 등식을 적용하면
12π∫−ππx2dx=2∑n=1∞1n2\displaystyle \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx =2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}
이다. 따라서 ∑n=1∞1n2=π26\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} 이다.

3. 관련문서 [편집]


라이선스를 별도로 명시하지 않은 문서는 CC BY-NC-SA 2.0 KR에 따라 이용할 수 있습니다.
기여하신 문서의 저작권은 각 기여자에게 있으며, 각 기여자는 기여하신 부분의 저작권을 갖습니다.

문서의 기여자는 역사 탭에서 확인할 수 있습니다.
접두어의 N: - 나무위키 사용자, R: - 리그베다 위키의 사용자를 뜻합니다.
자세한 사항은 나무위키에서 동일한 문서의 역사를 참고하시기 바랍니다.